Variable aléatoire

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Une variable aléatoire est une abstraction de la notion intuitive de chances dans les domaines des mathématiques théoriques, formant les bases de la théorie des probabilités et statistiques mathématiques.

La théorie et la langue de variables aléatoires ont été formalisés au cours des derniers siècles aux côtés idées de probabilité. Familiarité complète avec toutes les propriétés de variables aléatoires nécessite une solide expérience dans les concepts développés plus récemment de théorie de la mesure, mais variables aléatoires peuvent être compris intuitivement à différents niveaux de la fluidité en mathématiques; la théorie des ensembles et de calcul sont fondamentaux.

De façon générale, une variable aléatoire est définie comme une quantité dont les valeurs sont aléatoires et à laquelle une distribution de probabilité est assignée. Plus formellement, une variable aléatoire est une à partir d'une fonction mesurable échantillon espace pour le mesurable espace des valeurs possibles de la variable. La définition formelle de variables aléatoires place expériences impliquant résultats valeurs réelles résolument dans le mesurer la théorie cadre et nous permet de construire des fonctions de distribution de variables aléatoires à valeurs réelles.

Exemples

Une variable aléatoire peut être utilisé pour décrire le processus de laminage une foire mourir et les résultats possibles {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La représentation la plus évidente est de prendre ce jeu comme l'espace d'échantillon, la mesure de probabilité d'être mesure uniforme, et la fonction d'être le fonction identité.

Pour un tirage au sort, un espace approprié des résultats possibles est Ω = {H, T} (pour les têtes et queues). Un exemple variable aléatoire sur cet espace est

$X (\ omega) = \ begin {} 3 cas, & \ text {if} \ omega = \ texttt {H}, \\ -5, & \ text {if} \ omega = \ texttt {T}. \ End {} cas$

Variables aléatoires à valeurs réelles

Typiquement, l'espace mesurable est l'espace mesurable sur les nombres réels. Dans ce cas, laissez- $(\ Omega, \ mathcal {F}, P)$ être un espace de probabilité . Ensuite, la fonction $X: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}$ est une variable aléatoire réelle valeur-si

$\ {\ Omega: X (\ omega) \ le r \} \ in \ mathcal {F} \ qquad \ forall r \ in \ mathbb {R}$

Les fonctions de distribution de variables aléatoires

Association d'une fonction de distribution cumulative (CDF) avec une variable aléatoire est une généralisation de l'affectation d'une valeur à une variable. Si le CDF est un (à droite continue) Fonction de Heaviside alors la variable prend la valeur du saut, avec une probabilité 1. En général, le CDF spécifie la probabilité que la variable prend des valeurs particulières.

Si une variable aléatoire $X: \ Omega \ to \ mathbb {R}$ définie sur l'espace de probabilité $(\ Omega, A, P)$ est donnée, nous pouvons poser des questions comme "Quelle est la probabilité que la valeur de $X$ est plus grand que 2? ". Ce est la même que la probabilité de l'événement $\ {S \ in \ Omega: X (s)> 2 \}$ qui est souvent écrit comme $P (X> 2)$ en abrégé.

L'enregistrement de toutes ces probabilités de plages de sortie d'une valeur réelle variable aléatoire X donne la distribution de probabilité de X. La distribution de probabilité «oublie» sur l'espace de probabilité notamment utilisés pour définir X et seulement enregistre les probabilités de différentes valeurs de X. Une telle distribution de probabilité peut toujours être capturé par son fonction de distribution cumulative

$F_X (x) = \ operatorname {P} (X \ le x)$

et parfois aussi à l'aide d'un fonction de densité de probabilité. En mesurer la théorie termes, nous utilisons la variable aléatoire X pour "pousser en avant" la mesure P sur Ω à une mesure d F sur R. Le Ω de l'espace de probabilité sous-jacente est un dispositif technique utilisé pour garantir l'existence de variables aléatoires, et parfois de les construire. Dans la pratique, on dispose souvent de la Ω total de l'espace et juste met une mesure sur R qui attribue mesure 1 à l'ensemble de la ligne réelle, ce est à dire, on travaille avec des distributions de probabilités au lieu de variables aléatoires.

Moments

La distribution de probabilité d'une variable aléatoire est souvent caractérisé par un petit nombre de paramètres, qui ont également une interprétation pratique. Par exemple, il est souvent assez pour savoir ce que son "valeur moyenne" est. Ce est capturé par le concept mathématique de valeur attendue d'une variable aléatoire, noté E [X]. En général, E [f (X)] ne est pas égale à f (E [X]). Une fois que la "valeur moyenne" est connu, on pourrait alors se demander comment loin de cette valeur moyenne des valeurs de X sont typiquement, une question qui est répondu par la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire.

Mathématiquement, cela est connu comme le (généralisée) problème de moments: pour une classe donnée de variables aléatoires X, trouver une collection {f _i} de fonctions telles que l'attente valeurs E [f _i (X)] caractériser complètement la distribution de la variable aléatoire X.

Fonctions de variables aléatoires

Si nous avons une variable aléatoire X sur Ω et un fonction mesurable f: R → R, alors Y = f (X) sera également une variable aléatoire sur Ω, puisque la composition des fonctions mesurables est également mesurable. La même procédure qui a permis à une de passer d'un espace de probabilité (Ω, P) de (R, dF _X) peut être utilisé pour obtenir la distribution de Y. Le fonction de distribution cumulative de Y est

$F_Y (y) = \ operatorname {P} (f (X) \ le y).$

Exemple 1

Soit X, une valeur réelle variable aléatoire continue et laissez Y = X ^2. Ensuite,

$F_Y (y) = \ operatorname {P} (X ^ 2 \ le y).$

Si y <0, alors P (X ² ≤ y) = 0, de sorte que

$F_Y (y) = 0 \ qquad \ hbox {if} \ quad y <0.$

Si y ≥ 0, alors

$\ Operatorname {P} (X ^ 2 \ le y) = \ operatorname {P} (| X | \ le \ sqrt {y}) = \ operatorname {P} (- \ sqrt {y} \ le X \ le \ sqrt {y}),$

$F_Y (y) = F_X (\ sqrt {y}) - F_X (- \ sqrt {y}) \ qquad \ hbox {if} \ quad y \ ge 0.$

Exemple 2

Supposer $\ Scriptstyle X$ est une variable aléatoire avec une distribution cumulative

$F_ {X} (x) = P (X \ leq x) = \ frac {1} {(1 + e ^ {- x}) ^ {\ theta}}$

où $\ Scriptstyle \ theta> 0$ est un paramètre fixe. Considérons la variable aléatoire $\ Scriptstyle Y = \ mathrm {} log (1 + e ^ {- X}).$ Ensuite,

$F_ {Y} (y) = P (Y \ leq y) = P (\ mathrm {} log (1 + e ^ {- X}) \ leq y) = P (X> - \ mathrm {} log (e ^ {y} -. 1)) \,$

La dernière expression peut être calculé en fonction de la répartition de $X,$ si

$F_ {Y} (y) = 1 - F_ {X} (- \ mathrm {Journal} (e ^ {y} - 1)) \,$

$= 1 - \ frac {1} {(1 + e ^ {\ mathrm {} log (e ^ {y} - 1)}) ^ {\ theta}}$

$= 1 - \ frac {1} {(1 + e ^ {y} - 1) ^ {\ theta}}$

$= 1 - e ^ {- y \ theta} \,.$

Equivalence des variables aléatoires

Il ya plusieurs sens différents dans lesquels les variables aléatoires peuvent être considérées comme équivalentes. Deux variables aléatoires peuvent être égaux, égale presque sûrement, égaux en moyenne, ou l'équivalent dans la distribution.

Dans l'ordre croissant de la force, la définition précise de ces notions d'équivalence est donnée ci-dessous.

L'égalité dans la distribution

Deux variables aléatoires X et Y sont égaux dans la distribution si elles ont les mêmes fonctions de distribution:

$\ Operatorname {P} (X \ le x) = \ operatorname {P} (Y \ le x) \ quad \ hbox {} pour tous les \ quad x.$

Deux variables aléatoires ayant égale fonctions génératrices des moments ont la même distribution. Ceci permet, par exemple, une méthode utile de vérifier l'égalité de certaines fonctions du iidrv de.

Pour être égal dans la distribution, variables aléatoires ne doivent pas être définis sur le même espace de probabilité. La notion d'équivalence dans la distribution est associée à la notion suivante de distance entre les distributions de probabilité,

$d (X, Y) = \ sup_x | \ operatorname {P} (X \ le x) - \ operatorname {P} (Y \ le x) |,$

qui est la base de la Test de Kolmogorov-Smirnov.

L'égalité dans moyen

Deux variables aléatoires X et Y sont égaux à p-ième dire si la p-ième instant de | X - Y | est égal à zéro, ce est-

$\ Operatorname {} E (| X-Y | ^ p) = 0.$

L'égalité dans p e moyenne implique l'égalité dans q ème moyenne pour tout q <p. Comme dans le cas précédent, il existe une distance connexe entre les variables aléatoires, à savoir

$D_P (X, Y) = \ {E} operatorname (| X-Y | ^ p).$

Égalité presque sûre

Deux variables aléatoires X et Y sont égaux presque certainement si, et seulement si, la probabilité qu'ils sont différents est égal à zéro:

$\ Operatorname {P} (X \ neq Y) = 0.$

À toutes fins pratiques dans la théorie des probabilités, cette notion d'équivalence est aussi forte que l'égalité réelle. Il est associé à la distance suivante:

$d_ \ infty (X, Y) = \ sup_ \ omega | X (\ omega) -Y (\ omega) |,$

où 'sup' dans ce cas représente la borne supérieure essentiel au sens de théorie de la mesure.

Égalité

Enfin, les deux variables aléatoires X et Y sont égaux si elles sont égales en tant que fonctions de leur espace de probabilité, qui est,

$X (\ omega) = Y (\ omega) \ qquad \ hbox {} pour tous les \ quad \ omega$

Convergence

Beaucoup de statistiques mathématiques consiste à prouver les résultats de convergence pour certaines séquences de variables aléatoires; voir par exemple le loi des grands nombres et le théorème central limite.

Il existe différents sens dans lequel une séquence (X _n) de variables aléatoires peuvent converger à une variable aléatoire X. Elles sont expliquées dans l'article sur convergence des variables aléatoires.

Littérature

Kallenberg, O., mesures aléatoires, 4e édition. Academic Press, New York, Londres; Akademie-Verlag, Berlin (1986). MR0854102 ISBN 0123949602
Papoulis, Athanasios 1965 Probabilité, variables aléatoires et les processus stochastiques. McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo, 9e édition, ISBN 0-07-119981-0.

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