Relativité restreinte

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Relativité restreinte (SR) (aussi connu comme la théorie de la relativité restreinte ou STR) est le théorie physique de la mesure dans référentiels inertiels proposées en 1905 par Albert Einstein (après contributions considérables de Hendrik Lorentz et Henri Poincaré) dans le document " Sur l'électrodynamique des corps en mouvement ". Il généralise Le principe de Galilée de la relativité - que tous les mouvement uniforme est relatif, et qu'il n'y a pas d'état absolue et bien défini de repos (pas cadres de référence privilégiés) - à partir de mécanique à tous les lois de la physique, y compris les lois de la mécanique et de l'électrodynamique, quels qu'ils soient. En outre, la relativité incorpore le principe que la vitesse de la lumière est la même pour tous inertielle observateurs, indépendamment de l'état de mouvement de la source.

Cette théorie a un large éventail de conséquences qui ont été vérifiés expérimentalement. Relativité restreinte renverse notions newtonienne de l'espace absolu et l'heure en affirmant que le temps et l'espace sont perçus différemment par les observateurs dans les différents états de mouvement. Il donne l'équivalence de la matière et de l'énergie , exprimée dans la formule d'équivalence masse-énergie E = mc ^2, où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Les prédictions de la relativité restreinte en bon accord avec la mécanique newtonienne dans leur domaine d'application commune, en particulier dans des expériences dans lesquelles toutes les vitesses sont faibles par rapport à la vitesse de la lumière.

La théorie est appelée «spécial» car il applique la principe de relativité seulement référentiels inertiels. Einstein a développé la relativité générale d'appliquer le principe général, ce est, à ne importe quel cadre, et que la théorie comprend les effets de la gravité . Strictement, la relativité restreinte ne peut pas être appliquée dans l'accélération de cadres ou dans les champs gravitationnels.

La relativité spéciale révèle que c ne est pas seulement la vitesse d'un certain phénomène, à savoir la propagation du rayonnement électromagnétique (la lumière), mais plutôt une caractéristique fondamentale de l'espace et le temps moyen sont unifiés comme l'espace-temps. Une conséquence de ceci est qu'il est impossible à une particule qui a une masse à accélérer à la vitesse de la lumière.

Pour l'histoire et de la motivation, consultez l'article: Histoire de la relativité restreinte

Postulats

Dans ses notes autobiographiques publiés en Novembre 1949 Einstein a décrit comment il était arrivé aux deux postulats fondamentaux sur lesquels il repose la théorie de la relativité. Après avoir décrit en détail l'état des deux mécaniciens et l'électrodynamique au début du 20e siècle, il a écrit

"Réflexions de ce type fait clair pour moi il ya aussi longtemps que peu après 1900, ce est à dire, peu de temps après le travail de pionnier de Planck, que ni les mécaniciens ni l'électrodynamique pourrait (sauf dans les cas de limitation) affirment validité exacte. Peu à peu, je désespérais de la possibilité de découvrir les véritables lois au moyen d'efforts constructifs basés sur des faits connus. Le plus long et plus désespérément Je ai essayé, plus je suis arrivé à la conviction que seule la découverte d'un principe formel universelle pourrait nous conduire à des résultats assurés ... Comment, puis , un tel principe universel pourrait être trouvé? "

Il discerna deux propositions fondamentales qui semblaient être le plus assuré, indépendamment de la validité exacte soit des lois (puis) connus de la mécanique ou de l'électrodynamique. Ces propositions étaient (1) la constance de la vitesse de la lumière, et (2) l'indépendance des lois physiques (en particulier la constance de la vitesse de la lumière) du choix du système inertiel. Dans sa présentation initiale de la relativité restreinte en 1905 il a exprimé ces postulats que:

Le principe de la relativité - Les lois par lesquelles les Etats de systèmes physiques subissant des modifications ne sont pas affectés, si ces changements d'état être nommé l'un ou l'autre des deux systèmes de coordonnées inertielles en mouvement de translation uniforme.
Le principe de Invariant Lumière Vitesse - lumière dans le vide se propage avec la vitesse c (une constante fixe) en termes de ne importe quel système de coordonnées inertielles, indépendamment de l'état de mouvement de la source lumineuse.

Il convient de noter que la dérivation de la relativité restreinte ne dépend pas seulement sur ces deux postulats explicites, mais aussi sur plusieurs hypothèses tacites (qui sont faites dans presque toutes les théories de la physique), y compris le isotropie et homogénéité de l'espace et l'indépendance de piges et horloges de leur histoire passée.

Suite à la présentation originale d'Einstein de la relativité restreinte en 1905, de nombreux ensembles différents de postulats ont été proposées dans divers dérivations alternatives. Toutefois, l'ensemble le plus commun de postulats reste ceux employés par Einstein dans son article original. Ces postulats se réfèrent à la base axiomatique de la Transformation de Lorentz, qui est le noyau essentiel de la relativité restreinte. Dans tous les papiers d'Einstein dans laquelle il a présenté les dérivations de la transformation de Lorentz, il repose sur ces deux principes.

En plus des documents mentionnés ci-dessus qui donnent dérivations de la transformation de Lorentz et décrivent les fondements de la relativité spéciale-Einstein a également écrit au moins quatre documents donnant des arguments heuristiques pour l'équivalence (et transmutabilité) de la masse et de l'énergie. (Il convient de noter que cette équivalence ne découle pas des prémisses fondamentales de la relativité restreinte. Le premier d'entre eux était "L'inertie d'un corps dépend de son contenu énergétique?" En 1905. Dans ce domaine et chacun de ses trois documents ultérieurs à ce sujet, Einstein augmenté les deux principes fondamentaux en postulant les relations impliquant élan et l'énergie des ondes électromagnétiques sous-entendus par les équations de Maxwell (la prise en charge de ce qui, bien sûr, implique entre autres l'hypothèse de la constance de la vitesse de la lumière). Il a reconnu dans son document de l'enquête 1907 sur la relativité spéciale qu'il était problématique de se appuyer sur les équations de Maxwell pour l'heuristique argument de masse-énergie, et ce est pourquoi il a toujours fondé la dérivation de l'invariance de Lorentz (le noyau essentiel de la relativité restreinte) uniquement sur le deux principes de base de la relativité et invariance vitesse de la lumière. Il a écrit

"L'idée fondamentale de la théorie de la relativité restreinte est la suivante: La hypothèses relativité et l'invariance de la vitesse de la lumière sont compatibles si les relations d'un type nouveau (" de transformation de Lorentz ») sont postulés pour la conversion de coordonnées et heures des événements ... L'universel principe de la théorie de la relativité restreinte est contenue dans le postulat:. Les lois de la physique sont invariantes par rapport aux transformations de Lorentz (pour la transition d'un système inertiel à tout autre système d'inertie choisi arbitrairement) Ce est un principe de limitation des lois naturelles. .. "

Ainsi de nombreux traitements modernes de base de la relativité restreinte sur le postulat universel unique de covariance de Lorentz, ou, de façon équivalente, sur le postulat unique de l'espace-temps de Minkowski.

Conséquences

Einstein a dit que toutes les conséquences de la relativité restreinte peuvent être tirées de l'examen de la Transformations de Lorentz.

Ces transformations, et la relativité spéciale par conséquent, conduire à des prédictions différentes physiques que la mécanique newtonienne quand vitesses relatives deviennent comparables à la vitesse de la lumière. La vitesse de la lumière est tellement plus grand que l'homme de tout ce que rencontrent certains des effets prévus par la relativité sont d'abord contre-intuitif:

Dilatation du temps - le temps écoulé entre deux événements ne est pas invariant d'un observateur à l'autre, mais dépend des vitesses relatives des cadres de référence des observateurs (par exemple, le double paradoxe qui concerne un jumeau qui se envole dans un vaisseau spatial voyageant près de la vitesse de la lumière et retourne pour découvrir que son frère jumeau a vieilli beaucoup plus).
Relativité de la simultanéité - deux événements qui se déroulent dans deux endroits différents qui se produisent simultanément un observateur, peut se produire à différents moments pour un autre observateur (manque de simultanéité absolue).
Contraction de Lorentz - les dimensions (par exemple, la longueur) d'un objet tel que mesuré par un observateur peut être plus petite que les résultats des mesures du même objet faites par un autre observateur (par exemple, le ladder paradoxe implique une longue échelle voyageant près de la vitesse de la lumière et étant contenue dans un garage plus petit).
Composition des vitesses - vitesses (et vitesses) ne simplement «ajouter», par exemple si une roquette se déplace à ⅔ la vitesse de la lumière par rapport à un observateur, et la fusée tire un missile sur ⅔ de la vitesse de la lumière par rapport à la fusée, missile ne dépasse pas la vitesse de la lumière par rapport à l'observateur. (Dans cet exemple, l'observateur verrait le Voyage de missiles avec une vitesse de 12/13 de la vitesse de la lumière.)
Inertie et dynamique - que la vitesse d'un objet se approche de la vitesse de la lumière du point de vue d'un observateur, sa masse semble augmenter ce qui rend de plus en plus difficile pour accélérer de l'intérieur du cadre de référence de l'observateur.
Équivalence de la masse et de l'énergie , E = mc ² - Le contenu énergétique d'un objet au repos de masse m est égal $m c ^ {2}$ . Conservation de l'énergie implique que dans ne importe quelle réaction une diminution de la somme des masses de particules doit être accompagnée d'une augmentation de l'énergie cinétique des particules après la réaction. De même, la masse d'un objet peut être augmentée en prenant dans les énergies cinétiques.

Simultanéité

Événement B est simultanée avec A dans le cadre de référence vert, mais il se est produit auparavant dans le cadre bleu, et aura lieu plus tard dans le cadre rouge.

De la première équation de la transformation de Lorentz en termes de différences de coordonnées

$\ Delta t '= \ gamma \ left (\ Delta t - \ frac {v \, \ Delta x} {c ^ {2}} \ right)$

il est clair que deux événements qui sont simultanément dans un cadre S (satisfaisant $\ Delta t = 0 \,$ ), Ne sont pas nécessairement simultanées dans un autre inertiel S »(satisfaisant $\ Delta t '= 0 \,$ ). Seulement si ces événements sont colocal dans un cadre S (satisfaisant $\ Delta x = 0 \,$ ), Seront-ils simultanée dans un autre cadre S '.

Dilatation du temps et de la contraction des longueurs

Rédaction la transformation de Lorentz et son inverse en termes de coordonner les différences que nous obtenons

$\ Begin {cas} \ Delta t '= \ gamma \ left (\ Delta t - \ frac {v \, \ Delta x} {c ^ {2}} \ right) \\ \ Delta x' = \ gamma (\ Delta x - v \, \ Delta t) \, \ end {} cas$

$\ Begin {cas} \ Delta t = \ gamma \ left (\ Delta t '+ \ frac {v \, \ Delta x'} {c ^ {2}} \ right) \\ \ Delta x = \ gamma (\ Delta x '+ v \, \ Delta t') \, \ end {} cas$

Supposons que nous avons une horloge au repos dans le système sans apprêt S. Deux tiques consécutives de cette horloge sont ensuite caractérisés par $\ Delta x = 0$ . Si nous voulons connaître la relation entre les temps entre ces tiques tels que mesurés dans les deux systèmes, nous pouvons utiliser la première équation et de trouver:

$\ Delta t '= \ gamma \, \ Delta t \ qquad (\,$ pour les événements répondant $\ Delta x = 0) \,$

Cela montre que le temps $\ Delta t '$ entre les deux tiques comme on le voit dans le 'mouvement' trame S 'est plus grand que le temps $\ Delta t$ entre ces tiques telle que mesurée dans le cadre de l'horloge de repos. Ce phénomène est appelé la dilatation du temps.

De même, supposons que nous avons une pige au repos dans le système sans apprêt. Dans ce système, la longueur de cette tige se écrit $\ Delta x$ . Si nous voulons trouver la longueur de cette tige, mesurée dans le 'mouvement' système S ', nous devons nous assurer de mesurer les distances $x '$ pour les points de la tige en même temps dans la trame S apprêté d'extrémité. En d'autres termes, la mesure est caractérisé par $\ Delta t '= 0$ , Que nous pouvons combiner avec la quatrième équation pour trouver la relation entre les longueurs $\ Delta x$ et $\ Delta x '$ :

$\ Delta x '= \ frac {\ Delta x} {\ gamma} \ qquad (\,$ pour les événements répondant $\ Delta t '= 0) \,$

Cela montre que la longueur $\ Delta x '$ de la tige, telle que mesurée dans le "déplacement" cadre S 'est plus courte que la longueur $\ Delta x$ dans son propre cadre de repos. Ce phénomène est appelé longueur contraction ou contraction de Lorentz.

Ces effets ne sont pas de simples apparences; ils sont explicitement liés à notre façon de mesurer des intervalles de temps entre les événements qui se produisent au même endroit dans un système donné de coordonnées (appelé co-événements "locaux"). Ces intervalles de temps seront différentes dans un autre système de coordonnées se déplaçant par rapport à la première, à moins que les événements sont aussi simultanément. De même, ces effets se rapportent également à nos distances mesurées entre les événements séparés mais simultanés dans un système donné de coordonnées de choix. Si ces événements ne sont pas co-local, mais sont séparées par la distance (espace), ils ne se produisent à la même distance spatiale l'une de l'autre lorsqu'il est vu d'un autre système de coordonnées se déplaçant.

Voir aussi le paradoxe des jumeaux.

Causalité et l'interdiction de mouvement vite que la lumière

Schéma 2. cône de lumière

Dans le schéma 2 est l'intervalle AB "temps-like», à savoir, il existe un cadre de référence, auquel cas A et B événement se produisent au même endroit dans l'espace, séparé seulement par se produisant à des moments différents. Si A précède B dans ce cadre, alors A précède B dans tous les cadres. Il est théoriquement possible pour la matière (ou informations) pour aller de A à B, alors il peut y avoir un lien de causalité (avec A la cause et l'effet B).

L'AC intervalle dans le schéma est «comme l'espace-'; ce est à dire, il ya un cadre de référence auquel cas A et C événement se produisent simultanément, séparés seulement dans l'espace. Cependant, il ya aussi des cadres dans lesquels A précède C (comme indiqué) et châssis en C qui précède A. Se il était possible pour une relation et de cause à effet entre les événements d'exister A et C, puis paradoxes de la causalité en résulteraient. Par exemple, si A est la cause et l'effet C, alors il n'y aurait cadres de référence dans lequel l'effet précédé la cause. Bien que ce qui en soi ne donnera pas lieu à un paradoxe, on peut montrer que plus rapide que des signaux lumineux peuvent être renvoyés dans le passé de l'un. Un paradoxe de causalité peut alors être construit en envoyant le signal si et seulement si aucun signal n'a été reçu auparavant.

Par conséquent, l'une des conséquences de la relativité restreinte est que (en supposant causalité doit être préservé), aucune information ou objet matériel peut voyager vite que la lumière. D'autre part, la situation logique est pas aussi claire dans le cas de la relativité générale, il est donc une question ouverte se il existe une principe fondamental qui préserve la causalité (et donc empêche le mouvement plus rapide que la lumière) en relativité générale.

Même sans considérations de causalité, il ya d'autres bonnes raisons pourquoi plus vite que la lumière Voyage est interdit par la relativité restreinte. Par exemple, si une force constante est appliquée à un objet pour un montant illimité de fois, puis en intégrant F = dp / dt donne un élan qui pousse sans borne, mais ce est tout simplement parce que $p = m \ v gamma$ tend vers l'infini comme v approche c. Pour un observateur qui ne est pas accéléré, il semble que l'inertie de l'objet augmente, de manière à produire une accélération plus faible en réponse à la même valeur. Ce comportement est en fait observée dans des accélérateurs de particules.

Voir aussi le Tachyonique Antitelephone.

Composition de vitesses

Si l'observateur S voit un objet se déplaçant le long de l'axe x à la vitesse w, puis l'observateur dans le système S ', un cadre de référence se déplaçant à la vitesse v dans la direction x par rapport à S, verront l'objet en mouvement avec une vitesse w 'où

$w '= \ frac {w-v} {1-WV / c ^ 2}.$

Cette équation peut être dérivée à partir des transformations spatiales et temporelles ci-dessus. Notez que si l'objet se déplaçait à la vitesse de la lumière dans le système de S (c.-à- $w = c$ ), Alors il serait également déplace à la vitesse de la lumière dans le système S '. En outre, si les deux w et v sont de petite taille par rapport à la vitesse de la lumière, nous récupérons la transformation galiléenne intuitive de vitesses: $w '\ env w-v$ .

Messe, l'élan et l'énergie

En plus de modifier les notions d'espace et de temps, les forces de la relativité restreinte une à reconsidérer les notions de masse , dynamique et l'énergie , qui sont tous des constructions importantes de la mécanique newtonienne . Présentations spéciales de la relativité, en fait, que ces concepts sont tous les différents aspects de la même quantité physique de la même façon qu'il montre l'espace et de temps pour être interreliés.

Il ya un couple de (équivalentes) façons de définir élan et l'énergie dans la RS. On utilise la méthode lois de conservation. Si ces lois doivent rester valables dans SR ils doivent être vrai dans chaque cadre de référence possible. Toutefois, si l'on fait quelques simples pensé expériences utilisant les définitions newtonienne de mouvement et d'énergie que l'on voit que ces quantités ne sont pas conservées dans SR. On peut sauver l'idée de la conservation en faisant quelques petites modifications aux définitions pour tenir compte des vitesses relativistes. Ce sont ces nouvelles définitions qui sont prises comme les bons de mouvement et d'énergie dans la RS.

Compte tenu de l'objet de invariant masse m se déplaçant à la vitesse v l'énergie et l'élan sont donnés (et même définie) par

$E = \ gamma m c ^ 2 \, \!$

$\ Vec p = \ gamma m \ vec v \, \!$

où γ (le Facteur de Lorentz) est donnée par

$\ Gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ beta ^ 2}}$

où $\ Beta = \ frac {v} {c}$ est le rapport entre la vitesse et la vitesse de la lumière. Le terme γ se produit fréquemment dans la relativité, et provient de la Équations de transformation de Lorentz.

L'énergie et l'élan relativiste peuvent être liés par la formule

$E 2 ^ - (p c) ^ 2 = (c m ^ 2) ^ 2 \, \!$

qui est appelé l'équation énergie-impulsion relativiste. Il est intéressant de noter que tandis que l'énergie $E \,$ et l'élan $p \,$ dépendent observateur (varier d'une image à) la quantité $E 2 ^ - (p c) ^ 2 = (c m ^ 2) ^ 2 \, \!$ est observateur indépendant.

Pour des vitesses beaucoup plus faibles que celles de la lumière, γ peuvent être estimés à l'aide d'un développement en série de Taylor et on constate que

$E \ environ mc ^ 2 + \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} mv ^ 2 \, \!$

$\ Vec p \ approx m \ vec v \, \!$

Sauf le premier terme de l'expression de l'énergie (voir ci-dessous), ces formules se accordent exactement avec les définitions normalisées des newtonienne énergie cinétique et de l'élan. Ce est comme il se doit, par la relativité restreinte doit correspondre à la mécanique newtonienne à basses vitesses.

En regardant les formules ci-dessus pour l'énergie, on voit que quand un objet est au repos (v = 0 et γ = 1) il ya une énergie non nulle restant:

$E_ {} = m reste c ^ 2 \, \!$

Cette énergie est appelée énergie reste. L'énergie de repos ne est pas incompatible avec la théorie newtonienne parce que ce est une constante et, autant que l'énergie cinétique est concerné, il est seulement des différences de l'énergie qui sont significatives.

Prenant cette formule à leur valeur nominale, nous voyons que dans la relativité, la masse est simplement une autre forme d'énergie. En 1927, Einstein a fait remarquer à propos de la relativité restreinte:

Sous cette masse de la théorie ne est pas une grandeur immuable, mais une amplitude dépend (et, en fait, identique à) la quantité d'énergie.

Cette formule devient important lorsque l'on mesure les masses des différents noyaux atomiques. En regardant la différence dans les masses, on peut prédire quels noyaux ont supplémentaire stockée énergie qui peut être libéré par réactions nucléaires, fournissant des informations importantes qui était utile dans le développement de l'énergie nucléaire et, par conséquent, la bombe nucléaire . Les conséquences de cette formule sur la vie du 20e siècle ont fait l'une des plus célèbres équations les de toute la science.

Masse relativiste

Cours de physique d'introduction et quelques anciens manuels sur la relativité restreinte définissent parfois un masse relativiste qui augmente lorsque la vitesse d'un corps augmente. Selon l'interprétation géométrique de la relativité restreinte, ce qui est souvent obsolète et le terme «masse» est réservé pour signifier masse invariante et est donc indépendant de la trame d'inertie, ce est-invariant.

En utilisant la définition de masse relativiste, la masse d'un objet peut varier en fonction de référentiel inertiel de l'observateur de la même manière que d'autres propriétés telles que sa longueur peuvent le faire. Définition d'une telle quantité peut parfois être utile en ce faisant simplifie le calcul en le limitant à une image spécifique. Par exemple, considérons un corps avec une masse invariante m se déplaçant à une certaine vitesse relative au système de référence d'un observateur. Cet observateur définit la masse relativiste de ce corps comme:

$M = \ gamma m \!$

"Masse relativiste" ne doit pas être confondu avec les définitions et "longitudinaux" "masse transversale» qui ont été utilisés dans les années 1900 et qui ont été basées sur une application incohérente des lois de Newton: ceux utilisés F = ma pour une masse variable tandis relativiste masse correspond à masse dynamique de Newton dans lequel

$p = Mv \!$

$f = dp / dt \!$ .

Notez également que le corps n'a pas effectivement devenir plus massif dans son cadre propre, puisque la masse relativiste est seulement différent pour un observateur dans un cadre différent. La seule masse qui est bâti indépendant est le masse invariante. Lorsque vous utilisez la masse relativiste, le cadre de référence applicable devrait être spécifié si ce ne est déjà évidente ou implicite. Il va également sans dire que l'augmentation de la masse relativiste ne vient pas d'un nombre accru d'atomes dans l'objet. Au lieu de cela, la masse relativiste de chaque atome et subatomique particules a augmenté.

manuels de physique utilisent parfois la masse relativiste car elle permet aux élèves d'utiliser leurs connaissances de la physique newtonienne d'acquérir une certaine compréhension intuitive de la relativité dans leur cadre de choix (généralement leur propre!). "Masse relativiste" est également compatible avec les concepts " dilatation du temps "et" la contraction des longueurs ".

Force

La définition classique de l'ordinaire force f est donnée par la deuxième loi de Newton dans sa forme originale:

$\ Vec f = d \ vec p / dt$

et ce est valable dans la relativité.

De nombreux manuels modernes réécrire la deuxième loi de Newton

$\ Vec f = M \ vec une$

Cette forme ne est pas valable dans la relativité ou dans d'autres situations où la masse relativiste M est variable.

Cette formule peut être remplacé dans le cas relativiste par

$\ Vec f = \ gamma m \ vec un + \ gamma ^ 3 m \ frac {\ vec v \ cdot \ vec une} {c ^ 2} \ vec v$

Comme on le voit à partir de l'équation, vecteurs de force et d'accélération ordinaires ne sont pas nécessairement parallèles dans la relativité.

Cependant l'expression de quatre vecteur relatif quatre vigueur $F ^ \ mu \,$ à invariant masse m et quatre accélération $A ^ \ mu \,$ restaure la même forme d'équation

$F ^ \ mu = mA ^ \ mu \,$

La géométrie de l'espace-temps

SR utilise un espace de Minkowski quatre dimensions 'flat', qui est un exemple de l'espace-temps. Cet espace, cependant, est très similaire à la norme dimensionnelle 3 espace euclidien , et heureusement, par le fait, très facile à travailler avec.

Le écart de distance (ds) en espace 3D cartésien est défini comme:

$ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2$

où $(Dx_1, dx_2, dx_3)$ sont les différences des trois dimensions spatiales. Dans la géométrie de la relativité, une quatrième dimension est ajoutée, dérivée de l'heure, de sorte que l'équation de la différence de distance devient:

$ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2$

Si nous voulions prendre le temps de coordonner ressembler l'espace coordonnées, nous pourrions traiter temps que imaginaire: x ₄ = TIC. Dans ce cas, l'équation ci-dessus devient symétrique:

$ds = ^ 2 ^ 2 + dx_1 dx_2 dx_3 ^ 2 + ^ 2 ^ 2 + dx_4$

Ceci suggère ce est en fait un aperçu théorique profonde car il montre que la relativité restreinte est tout simplement un symétrie de rotation de notre l'espace-temps, très semblable à symétrie de rotation de l'espace euclidien . Tout comme l'espace euclidien utilise un Métrique euclidienne, donc l'espace-temps utilise un Métrique de Minkowski. Fondamentalement, SR peut être formulée en termes de l'invariance de l'intervalle espace-temps (entre deux événements) comme on le voit à partir de ne importe quel cadre de référence inertiel. Toutes les équations et les effets de la relativité restreinte peuvent être tirés de cette symétrie de rotation (la Groupe de Poincaré) de l'espace-temps de Minkowski. Selon Misner (1971 § 2.3), en fin de compte la meilleure compréhension de la relativité restreinte et générale viendra de l'étude de la métrique de Minkowski (décrit ci-dessous) plutôt que d'un "déguisée" métrique euclidienne l'utilisation des TIC comme le temps de coordonner.

Si nous réduisons les dimensions spatiales à 2, de sorte que nous pouvons représenter la physique dans un espace 3-D

$ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2$

Nous voyons que le nul géodésiques se trouvent le long d'un double cône:

défini par l'équation

$ds ^ 2 = 0 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2$

$dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2$

Ce est l'équation d'un cercle avec r = c × dt. Si nous étendons ce à trois dimensions spatiales, les géodésiques nulles sont le cône 4 dimensions:

Espace sphérique Null (relativité restreinte) .jpg

$ds ^ 2 = 0 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2$

$dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2$

Cette double cône nulle représente la "ligne de mire" d'un point dans l'espace. Ce est, quand on regarde les étoiles et dire "La lumière de cette étoile que je reçois est de X ans», nous recherchons dans cette ligne de mire: une géodésique nulle. Nous sommes à la recherche lors d'un événement $d = \ sqrt {x 1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2}$ mètres et d / c secondes dans le passé. Pour cette raison, l'hypothèse nulle double cône est également connu comme le "cône de lumière '. (Le point en bas à gauche de l'image ci-dessous représente l'étoile, l'origine représente l'observateur, et la ligne représente la géodésique "ligne de mire" null.)

Le cône dans la région -t est l'information que le point est «reçoit», tandis que le cône dans la section + t est l'information que le point est «envoie».

La géométrie de l'espace de Minkowski peut être représenté à l'aide Diagrammes de Minkowski, qui sont également utiles dans la compréhension de la plupart des expériences de pensée dans la relativité spéciale.

Physique dans l'espace-temps

Ici, nous voyons comment écrire les équations de la relativité spéciale dans un manifestement Lorentz covariante forme. La position d'un événement dans l'espace-temps est donnée par un contravariant quatre vecteur dont les composantes sont:

$x ^ \ nu = \ left (t, x, y, z \ right)$

C'est, $x ^ 0 = t$ et $x ^ x = 1$ et $x ^ 2 = y$ et $x ^ 3 = z$ . Exposants sont des indices contravariants dans cette section plutôt que les exposants, sauf quand ils indiquent un carré. Les indices sont indices covariants qui vont également de zéro à trois comme le gradient de l'espace-temps d'un φ de domaine:

$\ Partial_0 \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}, \ quad \ partial_1 \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ x partielle}, \ quad \ partial_2 \ phi = \ frac { \ partial \ phi} {\ y partielle}, \ quad \ partial_3 \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ z partielle}.$

Metric et les transformations de coordonnées

Ayant reconnu le caractère à quatre dimensions de l'espace-temps, nous sommes amenés à utiliser le métrique de Minkowski, η, donnée dans les composants (valable dans tous les référentiel inertiel) que:

$\ Eta _ {\ alpha \ beta} = \ begin {} pmatrix -c ^ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 0 \\ & 0 & 1 & 0 0 \\ & 0 & 0 & 1 \ end {} pmatrix$

Son réciproque est la suivante:

$\ Eta ^ {\ alpha \ beta} = \ begin {} pmatrix -1 / c ^ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 0 \\ & 0 & 1 & 0 0 \\ & 0 & 0 & 1 \ end {} pmatrix$

Ensuite, nous reconnaissons que les transformations de coordonnées entre les cadres de référence inertiels sont donnés par les Transformation de Lorentz tenseur Λ. Pour le cas particulier du mouvement le long de la axe x, nous avons:

$\ Lambda ^ {\ mu '} {} _ \ nu = \ begin {} pmatrix \ gamma & - \ beta \ gamma / c & 0 & 0 \\ - \ beta \ gamma c & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 0 \\ & 0 & 0 & 1 \ end {} pmatrix$

qui est tout simplement la matrice d'un coup de pouce (comme une rotation) entre les coordonnées x et t. Où μ 'indique la ligne et ν indique la colonne. En outre, β et γ sont définis comme suit:

$\ Beta = \ frac {c} {c}, \ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ 2}}.$

Plus généralement, une transformation d'un référentiel inertiel (ignorant traductions pour plus de simplicité) à un autre doit satisfaire:

$\ Eta _ {\ alpha \ beta} = \ eta _ {\ mu \ 'nu'} \ lambda ^ {\ mu '} {} _ \ alpha \ Lambda ^ {\ nu'} {} _ \ beta \!$

où il ya une sommation implicite de $\ Mu \ '!$ et $\ Nu \ '!$ de 0 à 3 sur le côté droit conformément à la Einstein convention de sommation. Le Groupe de Poincaré est le groupe le plus général des transformations qui préserve la Métrique de Minkowski et ce est la symétrie physique sous-jacente la relativité restreinte.

Toutes les quantités physiques adéquates sont fournies par tenseurs. Donc, pour transformer d'une image à l'autre, nous utilisons le bien-connue la loi de transformation des tenseurs

$T ^ {\ left [i_1 ', i_2', \ dots, i_p '\ right]} _ {\ left [j_1', j_2 ', \ dots, j_q' \ right]} = \ lambda ^ {i_1 '} { } _ {} i_1 \ Lambda ^ {i_2 '} {} {_ i_2} \ cdots \ Lambda ^ {i_p'} {} {_ i_p} \ {lambda_ j_1 '} {} ^ {j_1} \ {lambda_ j_2' } {} ^ {} j_2 \ cdots \ {lambda_ j_q '} {} ^ {} j_q T ^ {\ left [i_1, i_2, \ dots, i_p \ droite]} _ {\ left [j_1, j_2, \ dots , j_q \ right]}$

Où $\ {Lambda_ j_k '} {} ^ {} j_k \!$ est la matrice inverse de $\ Lambda ^ {j_k '} {} {_ j_k} \!$ .

Pour voir comment cela est utile, nous transformons la position d'un événement à partir d'un système de coordonnées sans apprêt S à un système amorcée S ', nous calculons

$\ Begin {} pmatrix t 'x \\' \\ y \\ 'z' \ end {} pmatrix = x ^ {\ mu '} = \ lambda ^ {\ mu'} {} _ \ nu x ^ \ nu = \ begin {} pmatrix \ gamma & - \ beta \ gamma / c & 0 & 0 \\ - \ beta \ gamma c & \ gamma & 0 & 0 0 \\ & 0 & 1 & 0 0 \\ & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {} pmatrix t \\ x \\ y \\ z \ end {} pmatrix = \ begin {} pmatrix \ gamma t- \ gamma \ beta x / c \\ \ gamma x - \ beta \ gamma ct \\ y \\ z \ end {} pmatrix$

qui est la transformation de Lorentz donné ci-dessus. Tous les tenseurs transforment par la même règle.

La longueur carré de l'écart de la position quatre vecteur $dx ^ \ mu \!$ construit en utilisant

$\ Mathbf {dx} ^ 2 = \ eta _ {\ mu \ nu} \, dx ^ \ mu \, dx ^ \ nu = - (c \ cdot dt) ^ 2 + (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + (dz) ^ 2 \,$

est un invariant. Signifie être invariant qu'il prend la même valeur dans tous les référentiels inertiels, parce que ce est un scalaire (0 rang tenseur), et donc pas Λ apparaît dans sa transformation trivial. Notez que lorsque le élément de ligne $\ Mathbf {dx} ^ 2$ est négatif $d \ tau = \ sqrt {- \ mathbf {dx}} ^ 2 / c$ est l'écart de bon moment, alors que lorsque $\ Mathbf {dx} ^ 2$ est positif, $\ Sqrt {\ mathbf {dx} ^ 2}$ est le différentiel de bonne distance.

La valeur principale d'exprimer les équations de la physique sous une forme de tenseur, ce est qu'ils sont alors manifestement invariant sous le groupe de Poincaré, de sorte que nous ne avons pas à faire un calcul spécial et fastidieux de vérifier ce fait. Aussi dans la construction de ces équations nous constatons souvent que les équations que l'on croyait sans rapport sont, en fait, étroitement liés faisant partie de la même équation de tenseur.

Vitesse et accélération dans 4D

Reconnaissant autres grandeurs physiques comme tenseurs simplifie aussi leurs lois de transformation. Notons d'abord que le la vitesse de quatre vecteur U ^μ est donnée par

$U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} = \ begin {} pmatrix \ gamma \\ \ gamma v_x \\ \ gamma v_y \\ \ gamma V_Z \ end {} pmatrix$

Reconnaissant cela, nous pouvons tourner la loi regardant maladroite sur la composition des vitesses dans une simple déclaration de transformer la vitesse de quatre vecteur d'une particule d'une image à l'autre U ^μ a également une forme invariante.:

${\ Mathbf U} ^ 2 = \ eta _ {\ nu \ mu} U ^ \ nu U ^ \ mu = -c ^ 2.$

Donc, tous les quatre vecteurs vitesse ont une magnitude de c. Ce est une expression du fait qu'il n'y a pas une telle chose comme étant à coordonner repos dans la relativité: au moins, vous êtes toujours en mouvement vers l'avant à travers le temps. Le accélération 4-vecteur est donné par $A ^ \ mu = d {\ mathbf U ^ \ mu} / d \ tau$ . Compte tenu de cela, différenciant l'équation ci-dessus par τ produit

$2 \ eta _ {\ mu \ nu} A ^ \ mu U ^ \ nu = 0. \!$

Donc, dans la relativité, l'accélération quatre vecteur et la vitesse de quatre-vecteur sont orthogonales.

Momentum dans 4D

L'élan et l'énergie se combinent dans un 4-vecteur covariant:

$p_ \ nu = m \ cdot \ eta _ {\ nu \ mu} U ^ \ mu = \ begin {} pmatrix -E \\ p_x \\ \\ p_y p_z \ end {} pmatrix.$

où m est le masse invariante.

L'ampleur de l'invariant dynamique 4-vecteur est:

$\ Mathbf {p} ^ 2 = \ eta ^ {\ mu \ nu} p_ \ mu p_ \ nu = - (E / c) ^ 2 + p ^ 2.$

Nous pouvons travailler sur ce que cet invariant est d'abord en faisant valoir que, puisque ce est un scalaire, il ne est pas question que nous calculons le repère, puis en transformant à un cadre où l'impulsion totale est égale à zéro.

$\ Mathbf {p} ^ 2 = - (E_ {} reste / c) ^ 2 = - (m \ cdot c) ^ 2.$

Nous voyons que l'énergie reste est un invariant indépendant. Une énergie de repos peut être calculée même pour les particules et les systèmes en mouvement, en traduisant à un cadre dans lequel l'élan est zéro.

L'énergie reste est lié à la masse selon le célèbre équation discuté ci-dessus:

$E_ {} = m reste c ^ 2 \,$

A noter que la masse des systèmes de mesure en leur centre de trame d'impulsion (quantité de mouvement totale où est égal à zéro) est donnée par l'énergie totale du système dans ce cadre. Il peut ne pas être égale à la somme des masses individuelles du système de mesure dans d'autres cadres.

Vigueur en 4D

Pour utiliser la troisième loi du mouvement de Newton , les deux forces doivent être définies comme le taux de variation de l'élan par rapport à la même période de coordonnées. Autrement dit, il nécessite la force 3D défini ci-dessus. Malheureusement, il n'y a pas tenseur en 4D qui contient les composants du vecteur de force 3D parmi ses composants.

Si une particule ne se déplace pas au c , on peut transformer la force 3D à partir de la trame de référence de co-mouvement de la particule dans le cadre de référence de l'observateur. Cela donne un vecteur 4 appelé quatre vigueur. Il est le taux de variation de l'élan d'énergie au-dessus de quatre-vecteur par rapport au temps approprié. La version covariante de quatre-vigueur est:

$F_\nu = \frac{d p_{\nu}}{d \tau} = \begin{pmatrix} -{d E}/{d \tau} \\ {d p_x}/{d \tau} \\ {d p_y}/{d \tau} \\ {d p_z}/{d \tau} \end{pmatrix}$

où $\tau \,$ est le bon moment.

Dans le cadre reste de l'objet, le composant de temps de quatre vigueur est nulle à moins que le " masse invariante "de l'objet est en train de changer dans ce cas, il est le négatif de ce taux de changement fois c ² . En général, cependant, les quatre composants de la vigueur ne sont pas égaux pour les trois composantes de la force, car la force de trois est définie par le taux de variation de quantité de mouvement par rapport à coordonner temps, soit $\frac{d p}{d t}$ pendant que la force de quatre est définie par le taux de variation de l'élan par rapport au temps approprié, c.-à- $\frac{d p} {d \tau}$ .

Dans un milieu continu, le 3D densité de la force se combine avec la densité de puissance pour former un 4-vecteur covariant. La partie spatiale est le résultat de la division de la force sur une petite cellule (en l'espace de 3) par le volume de cette cellule. Le composant de temps est le négatif de la puissance transférée à cette cellule divisée par le volume de la cellule. Il sera utilisé ci-dessous dans la section sur l'électromagnétisme.

Relativité et électromagnétisme d'unification

Etude théorique dans l'électromagnétisme classique a conduit à la découverte de la propagation des ondes. Équations généralisant les effets électromagnétiques ont constaté que la propagation à vitesse finie des champs E et B exigé certains comportements sur des particules chargées. L'étude générale des charges en mouvement constitue le potentiel Liénard-Wiechert, qui est une étape vers la relativité restreinte.

La transformation de Lorentz du champ électrique d'une charge en mouvement dans les résultats de cadre de référence d'un observateur non-déplacer dans l'apparition d'un terme mathématique communément appelé champ magnétique. l'inverse, le magnétique champ généré par une charge en mouvement disparaît et devient purement électrostatique champ dans une comobile cadre de référence. Les équations de Maxwell sont donc tout simplement un ajustement empirique des effets relativistes spéciaux dans un modèle classique de l'Univers. Comme les champs électriques et magnétiques sont référentiel dépendante et donc entrelacés, on parle de électromagnétiques champs. La relativité spéciale fournit les règles de transformation pour la façon dont un champ électromagnétique dans un référentiel inertiel apparaît dans un autre référentiel inertiel.

Électromagnétisme dans 4D

Les équations de Maxwell dans la forme 3D sont déjà compatibles avec le contenu physique de la relativité restreinte. Mais nous devons les réécrire pour les rendre manifestement invariant.

Le densité de charge $\rho \!$ et densité de courant $[J_x,J_y,J_z] \!$ sont unifiés dans lecourant de charge 4-vecteur:

$J^\mu = \begin{pmatrix} \rho \\ J_x\\ J_y\\ J_z\end{pmatrix}.$

La loi de charger conservation, $\frac{\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0$ devient:

$\partial_\mu J^\mu = 0. \!$

Lechamp électrique $[E_x,E_y,E_z] \!$ et le induction magnétique $[B_x,B_y,B_z] \!$ sont maintenant unifié dans le (rang 2 covariante antisymétrique)électromagnétique de tenseur de champ:

$F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}.$

La densité $f_\mu \!$ , de laforce de Lorentz, $\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}$ , exercée sur la matière par le champ électromagnétique devient:

$f_\mu = F_{\mu\nu}J^\nu .\!$

La loi de Faraday de l'induction, $\ Nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}$ Et La loi de Gauss pour le magnétisme, $\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$ se combinent pour former:

$\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu \lambda}+ \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0. \!$

Bien qu'il semble y avoir 64 équations ici, mais réduit à seulement quatre équations indépendantes. Utilisation de l'antisymétrie du champ électromagnétique, on peut soit réduire à une identité (0 = 0) ou de rendre redondants toutes les équations, sauf pour ceux avec λ, μ, ν = soit 1,2,3 ou 2,3,0 ou 3, 0,1 ou 0,1,2.

Le déplacement électrique $[D_x,D_y,D_z] \!$ et le champ magnétique $[H_x,H_y,H_z] \!$ sont maintenant unifiées dans le (rang 2 de contravariante antisymétrique) électromagnétique déplacement tenseur:

$\mathcal{D}^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & D_x & D_y & D_z \\ -D_x & 0 & H_z & -H_y \\ -D_y & -H_z & 0 & H_x \\ -D_z & H_y & -H_x & 0 \end{pmatrix}.$

La loi d'Ampère, $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$ etla loi de Gauss, $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ , se combinent pour former:

$\partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu} = J^{\mu}. \!$

Dans le vide, leséquations constitutives sont:

$\mu_0 \mathcal{D}^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha} \eta^{\nu\beta} F_{\alpha\beta}.$

Antisymétrie réduit ces 16 équations pour seulement six équations indépendantes.

Le densité d'énergie du champ électromagnétique se combine avec Poynting vecteur et le tenseur de Maxwell pour former le 4D électromagnétique tenseur-énergie. Il est le flux (densité) de l'élan 4-vecteur et un rang 2 tenseur mixte, il est:

$T_\alpha^\pi = F_{\alpha\beta} \mathcal{D}^{\pi\beta} - \frac{1}{4} \delta_\alpha^\pi F_{\mu\nu} \mathcal{D}^{\mu\nu}$

où $\delta_\alpha^\pi$ est le Kronecker.Lorsque indice supérieur est abaissé avec η, il devient symétrique et fait partie de la source du champ gravitationnel.

La conservation de quantité de mouvement et de l'énergie par le champ électromagnétique est exprimée par:

$f_\mu + \partial_\nu T_\mu^\nu = 0\!$

où $f_\mu \!$ est de nouveau la densité du Force de Lorentz.Cette équation peut être déduite à partir des équations ci-dessus (avec un effort considérable).

Statut

La relativité spéciale est exacte uniquement lorsque potentielle gravitationnelle est beaucoup moins que c ² ; dans un fort champ gravitationnel il faut utiliser la relativité générale (qui devient la relativité restreinte à la limite du champ faible). À de très petites échelles, comme à la longueur de Planck et ci-dessous, les effets quantiques doivent être prises en considération pour résultat la gravité quantique. cependant, à des échelles macroscopiques et en l'absence de forts champs gravitationnels, la relativité restreinte est testé expérimentalement à très haut degré de précision (10 ^-20 ) et donc acceptée par la communauté de la physique. Les résultats expérimentaux qui semblent contredire ne sont pas reproductibles et sont donc largement soupçonnés d'être dus à des erreurs expérimentales.

En raison de la liberté on doit sélectionner la manière dont on définit les unités de longueur et de temps en physique, il est possible de faire l'une des deux postulats de la relativité d'uneconséquence tautologique des définitions, mais on ne peut le faire pour les deux postule simultanément, comme lorsque combinées, elles ont des conséquences qui sont indépendants de son choix de définition de la longueur et du temps.

La relativité spéciale est mathématiquement auto-cohérent, et il est une partie organique de toutes les théories physiques modernes, notammentla théorie quantique des champs,la théorie des cordes, et la relativité générale (dans le cas limite des champs gravitationnels négligeables).

Mécanique newtonienne suit mathématiquement à partir relativité restreinte à faibles vitesses (par rapport à la vitesse de la lumière) - ainsi la mécanique newtonienne peuvent être considérées comme une relativité spéciale des organes lents. Voir Statut de la relativité restreinte pour une discussion plus détaillée.

Quelques expériences clés peuvent être mentionnés qui a conduit à la relativité restreinte:

Le Trouton expérience-Noble a montré que le couple exercé sur un condensateur est indépendante de la position et le cadre de référence inertiel - ces expériences ont conduit au premier postulat
Le célèbre Expérience de Michelson-Morley a donné un appui supplémentaire au postulat que la détection d'une vitesse de référence absolue était pas réalisable. Il convient de préciser ici que, contrairement à de nombreux autres jeux de revendications, il dit peu de choses sur l'invariance de la vitesse de la lumière par rapport à la source et la vitesse de l'observateur, à la fois comme source et observateur voyageaient ensemble à la même vitesse en tout temps.

Un certain nombre d'expériences ont été menées pour tester la relativité spéciale contre les théories rivales. Ceux-ci comprennent:

Expériences Kaufmann-Bucherer-Neumann - déviation électrons en accord approximatif avec la prédiction de Lorentz-Einstein.
Expérience Fizeau - vitesse de la lumière dans le déplacement des médias en conformité avec plus de vitesse relativiste
Expérience Kennedy-Thorndike - dilatation du temps en conformité avec les transformations de Lorentz
Rossi-Hall expérience - effets relativistes sur la demi-vie d'une particule se déplaçant rapidement
Des expériences pour testerla théorie d'émetteur ont démontré que la vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de l'émetteur.
Hammar expérience - pas de "l'obstruction éther de flux"

En outre, les accélérateurs de particules accélèrent systématiquement et de mesurer les propriétés des particules se déplaçant à une vitesse proche de la lumière, où leur comportement est totalement compatible avec la théorie de la relativité et incompatible avec les précédentes mécanique newtonienne . Ces machines seraient tout simplement pas fonctionner si ils ne sont pas conçus selon les principes relativistes.

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