Distribuição binomial

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Binômio
Função massa de probabilidade
Função de distribuição cumulativa As cores combinam a imagem acima
Parâmetros	$n \ geq 0$ número de tentativas ( inteiro ) $0 \ leq p \ leq 1$ probabilidade de sucesso ( verdadeiro )
Apoio	$k \ in \ {0, \ pontos, n \} \!$
PMF	${N \ escolher k} P ^ k (1-p) ^ {n-k} \!$
CDF	$I_ {1-p} (n- \ lfloor k \ rfloor, 1+ \ lfloor k \ rfloor) \!$
Significar	$np \!$
Mediano	um de $\ {\ Lfloor np \ rfloor-1, \ lfloor np \ rfloor, \ lfloor np \ rfloor + 1 \}$
Modo	$\ Lfloor (n + 1) \, p \ rfloor \!$
Variação	$NP (1-p) \!$
Assimetria	$\ Frac {1-2p} {\ sqrt {np (1-p)}} \!$
Ex. curtose	$\ Frac {1-6p (1-p)} {NP (1-p)} \!$
Entropy	$\ Frac {1} {2} \ ln \ left (2 \ pi NEP (1-p) \ right) + O \ left (\ frac {1} {n} \ right)$
MGF	$(1-p + pe ^ t) ^ n \!$
CF	$(1-p + pe ^ {o}) ^ n \!$

Em teoria da probabilidade e estatística , a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos em uma seqüência de n sim / não experiências independentes, cada uma das quais rende sucesso com probabilidade p. Tal sucesso / fracasso experimento também é chamado de um experimento ou Bernoulli Julgamento Bernoulli. Na verdade, quando n = 1, a distribuição binomial é um Distribuição de Bernoulli. A distribuição binomial é a base para o popular teste binomial de significância estatística. Uma distribuição binomial não deve ser confundido com um distribuição bimodal.

Exemplos

Um exemplo elementar é esta: Role um padrão morrer dez vezes e contar o número de seis. A distribuição deste número aleatório é uma distribuição binomial com n = 10 e p = 1/6.

Como outro exemplo, suponha 5% de uma população muito grande para ser de olhos verdes. Você escolhe aleatoriamente 100 pessoas. O número de pessoas de olhos verdes que você escolhe é uma variável aleatória X que segue uma distribuição binomial com n = 100 e p = 0,05.

Especificação

Função massa de probabilidade

Em geral, se a variável aleatória K segue a distribuição binomial com parâmetros n e p, podemos escrever K ~ B (n, p). A probabilidade de obter exactamente k sucessos em n ensaios é dada pela função massa de probabilidade:

$\ Pr (K = k) = F (k, N, p) = {n \ escolher k} P ^ k (1-p) ^ {n-k}$

para k = 0, 1, 2, ..., n e onde

${N \ escolher k} = \ frac {n!} {K! (N-k)!}$

é o coeficiente binomial (daí o nome da distribuição) "n escolher K" (também denotado C (n, k) ou n C k). A fórmula pode ser entendida da seguinte maneira: queremos k sucessos (p ^k) e n - falhas K (1 - p) ^{n - k.} No entanto, os sucessos k pode ocorrer em qualquer lugar entre os n tentativas, e não são C (n, k), diferentes formas de distribuição k sucessos em uma sequência de n ensaios.

Ao criar tabelas de referência para a probabilidade de distribuição binomial, geralmente o quadro é preenchido em até n / 2 valores. Isto é porque para k> n / 2, a probabilidade pode ser calculada por seu complemento como

$f (k, n, p) = f (n-k; n, 1-p) \, \.!$

Então, é preciso olhar para um k diferente e uma diferente p (o binômio não é simétrica em geral).

Função de distribuição cumulativa

O função de distribuição cumulativa pode ser expressa em termos de regularizada função beta incompleta, como se segue:

$F (k, n, p) = \ Pr (X \ le k) = I_ {1-p} (n-k, k + 1) \!$

fornecida k é um inteiro 0 e ≤ k ≤ n. Se x não é necessariamente um número inteiro ou não necessariamente positivo, pode-se expressar da seguinte maneira:

$F (x, n, p) = \ Pr (X \ le x) = \ sum_ {j = 0} ^ {\ {operatorname Pavimento} (x)} {n \ j escolher} p ^ j (1-p) ^ {nj}.$

Para k ≤ np, limites superiores para a cauda inferior da função de distribuição pode ser derivada. Em particular, A desigualdade de Hoeffding produz o limite

$F (k, n, p) \ leq \ exp \ left (-2 \ frac {(np-k) ^ 2} {n} \ right), \!$

e A desigualdade de Chernoff pode ser usado para derivar o limite

$F (k, n, p) \ leq \ exp \ left (- \ frac {1} {2 \, p} \ frac {(np-k) ^ 2} {n} \ right). \!$

Média, variância, eo modo

Se X ~ B (n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomial distribuído), em seguida, o valor esperado de X é

$\ Operatorname {E} (X) = np \, \!$

ea variância é

$\ Operatorname {var} (X) = np (1-p). \, \!$

Este facto é facilmente comprovada como se segue. Suponha primeiro que temos exatamente um julgamento Bernoulli. Nós temos dois resultados possíveis, 1 e 0, com o primeiro tendo probabilidade p eo segundo tendo probabilidade 1 - p; a média para este julgamento é dado por μ = p. Utilizando a definição de variância , temos

$\ Sigma ^ 2 = \ esquerda (1 - p \ direita) ^ 2P + (0-P) ^ 2 (1 - P) = p (1-p).$

Agora, suponha que queremos que a variância para n tais ensaios (ou seja, para a distribuição binomial geral). Uma vez que os ensaios são independentes, podemos acrescentar os desvios para cada julgamento, dando

$\ Sigma ^ 2_n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ sigma ^ 2 = np (1 - p). \ Quad$

O modo de X é o maior inteiro menor do que ou igual a (n + 1) p; se m = (n + 1) p é um número inteiro, então m - 1 e m são ambos os modos.

Derivações explícitas de média e variância

Obtivemos essas quantidades dos primeiros princípios. Certas quantias específicas ocorrem nessas duas derivações. Nós reorganizar os montantes e prazos para que resume unicamente sobre as funções completas de massa de probabilidade binomial ( PMF ) surgem, que estão sempre a unidade

$\ Sum_ {k = 0} ^ n \ operatorname {Pr} (X = K) = \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ escolher k} P ^ k (1-p) ^ {NK} = 1$

Significar

Nós aplicamos a definição do valor esperado de uma variável aleatória discreta para a distribuição binomial

$\ Operatorname {E} (x) = \ sum_k x_k \ cdot \ operatorname {Pr} (x_k) = \ sum_ {k = 0} ^ NK \ cdot \ operatorname {Pr} (X = K) = \ sum_ {k = 0} ^ nk \ cdot {n \ escolher k} k ^ p (1-p) ^ {nk}$

O primeiro termo da série (com índice k = 0) tem valor 0 desde o primeiro fator, k, é zero. Pode, assim, ser descartados, ou seja, podemos alterar o limite inferior para: k = 1

$\ Operatorname {E} (X) = \ sum_ {k = 1} ^ nk \ cdot \ frac {n!} {K! (Nk)!} P ^ k (1-p) ^ {nk} = \ sum_ { k = 1} ^ nk \ cdot \ frac {n \ cdot (n-1)!} {k \ cdot (k-1)! (nk)!} \ cdot p \ cdot p ^ {k-1} (1 -p) ^ {nk}$

Nós puxado fatores de N e K fora dos fatoriais, e um poder de p foi cindida. Estamos nos preparando para redefinir os índices.

$\ Operatorname {E} (X) = np \ cdot \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {(n-1)! {} (K-1)! (Nk)!} P ^ {k-1} (1-p) ^} {NK$

Nós renomear m = n - 1 e s = k - 1. O valor da soma não é alterado pelo presente, mas agora se torna facilmente identificável

$\ Operatorname {E} (X) = np \ cdot \ sum_ {s = 0} ^ m \ frac {(m)! {} (S)! (Ms)!} P ^ s (1-p) ^ {ms } = np \ cdot \ sum_ {s = 0} ^ m {m \ escolher s} p ^ s (1-p) ^ {} ms$

A soma resultante é uma soma sobre um binômio completa pmf (de uma ordem inferior à soma inicial, como acontece). Assim

$\ Operatorname {E} (X) = np \ cdot 1 = np$

Variação

Pode-se mostrar que a variância é igual a (ver: variância, 10. fórmula computacional para variância ):

$\ Operatorname {} Var (X) = \ operatorname {E} (X ^ 2) - (\ operatorname {E} (X)) ^ 2.$

Em usando esta fórmula, vemos que agora também precisa do valor esperado de X ^2, que é

$\ Operatorname {E} (X ^ 2) = \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2 \ cdot \ operatorname {} Pr (X = k) = \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2 \ cdot {n \ escolher k} k ^ p (1-p) ^ {nk}.$

Nós podemos usar nossa experiência adquirida em derivar acima da média. Nós sabemos como processar um fator de k. Isso nos leva tão longe como

$\ Operatorname {E} (X ^ 2) = np \ cdot \ sum_ {s} ^ = 0 mk \ cdot {m \ escolher s} p ^ s (1-p) ^ {} ms = np \ cdot \ sum_ { s = 0} ^ m (s + 1) \ cdot {m \ escolher s} p ^ s (1-p) ^} {ms$

(Mais uma vez, com m = n - 1 e s = k - 1). Podemos dividir a soma em duas somas separadas e reconhecemos cada um

$\ Operatorname {E} (X ^ 2) = np \ cdot \ bigg (\ sum_ {s} ^ = 0 ms \ cdot {m \ escolher s} p ^ s (1-p) ^ {} ms + \ sum_ { s = 0} ^ m 1 \ cdot {m \ escolher s} p ^ s (1-p) ^ {} \ bigg ms).$

A primeira soma é idêntico em forma à que calculado no Média (acima). Ele resume a pf. A segunda soma é a unidade.

$\ Operatorname {E} (X ^ 2) = NP \ cdot (pf + 1) = NP ((n-1) p + 1) = NP (NP - p + 1).$

Usando este resultado na expressão para a variância, juntamente com a média (E (X) = NP), obtemos

$\ Operatorname {} Var (X) = \ operatorname {E} (X ^ 2) - (\ operatorname {E} (X)) ^ 2 = np (np - p + 1) - (np) ^ 2 = np ( 1-p).$

Relação com outras distribuições

Somas de binômios

Se X ~ B (n, p) e Y ~ B (m, p) são variáveis independentes binomial, então X + Y é de novo uma variável binomial; sua distribuição é

$X + Y \ sim B (n + m, p). \,$

Aproximação normal

PDF binomial e aproximação normal para n = 6 e p = 0,5.

Se n for suficientemente grande, a inclinação da distribuição não é muito grande, e um adequado correcção de continuidade é utilizado, em seguida, uma excelente aproximação para B (n, p) é dada pela distribuição normal

$\ Operatorname {N} (np, np (1-p)). \, \!$

Vário regras de polegar pode ser utilizada para decidir se n é suficientemente grande. Uma regra é que ambos NP e n (1 - P) deve ser superior a 5. No entanto, o número específico varia de fonte para a fonte, e depende de quão boa é uma aproximação uma quer; Algumas fontes dão 10. Outra regra comumente usado sustenta que a aproximação normal acima é apropriada somente se

$\ Mu pm \ 3 \ sigma = np \ pm 3 \ sqrt {np (1-p)} \ in [0, n].$

O que se segue é um exemplo de aplicação de um correção de continuidade: Suponha que se deseja calcular Pr (X ≤ 8) para uma variável aleatória X binomial. Se Y tem uma distribuição determinada pela aproximação normal, em seguida, Pr (X ≤ 8) é aproximada por Pr (Y ≤ 8,5). A adição de 0,5 é a correcção de continuidade; a aproximação normal sem correção dá resultados consideravelmente menos precisos.

Esta aproximação é uma enorme economia de tempo (cálculos exatos com grande n são muito oneroso); Historicamente, foi a primeira utilização de uma distribuição normal, introduzido em O livro de Abraham de Moivre A Doutrina da Chances em 1733. Hoje em dia, ele pode ser visto como uma consequência da teorema do limite central desde B (n, p) é uma soma de n independente, identicamente distribuídos 0-1 variáveis indicadoras.

Por exemplo, suponha que você provar n pessoas, de uma grande população de forma aleatória e perguntar-lhes se concordam com uma determinada declaração. A proporção de pessoas que concordam, claro, irá depender da amostra. Se você amostrados grupos de n pessoas repetidamente e verdadeiramente aleatoriamente, as proporções iria seguir uma distribuição normal com média aproximada igual a verdadeira proporção p de acordo na população e com desvio padrão σ = (p (1 - p) n) ^{1 / 2.} Grande o tamanho das amostras n são boas, porque o desvio padrão, como uma percentagem do valor esperado, torna-se menor, o que permite um cálculo mais preciso do parâmetro desconhecido p.

Poisson aproximação

A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson como o número de ensaios vai para infinito quando o np produto permanece fixo. Por conseguinte, a distribuição de Poisson com parâmetro λ = NP pode ser usado como uma aproximação para B (n, p) da distribuição binomial se n for suficientemente grande e p é suficientemente pequena. De acordo com duas regras de ouro, esta aproximação é bom se n ≥ 20 e P ≤ 0,05, ou se n ≥ 100 e ≤ 10 np.

Limites da distribuição binomial

Como n se aproxima ∞ e P se aproxima de 0, enquanto permanece fixo na NP λ> 0 ou pelo menos se aproxima NP λ> 0, em seguida, o binomial (n, p) de distribuição se aproxima da distribuição de Poisson com λ valor esperado.

Como n se aproxima ∞ p enquanto permanece fixo, a distribuição de

${X-np \ over \ sqrt {np (1-p) \}}$

se aproxima da distribuição normal com valor esperado 0 e variância 1 (este é apenas um caso específico do Teorema do Limite Central).

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