Composição de função

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Informações de fundo

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Em matemática , uma função composta, formada pela composição de uma função em um outro, representa a aplicação do primeiro para o resultado da aplicação desta última para o argumento do compósito. As funções f: X → Y eg: Y → Z pode ser composto por primeiro aplicar f a um argumento x e, em seguida, aplicar g para o resultado. Assim obtém-se uma função g o f: X → Z definido por (g o f) (x) = g (f (x)) para todo x em X. A notação g o f é lido como "círculo g f", ou "g composto com f", "g seguinte f", ou apenas "g de f".

g o f, a composição de f e g

A composição de funções é sempre associativa . Isto é, se f, g, e h são três funções com domínios e codomains adequadamente escolhidas, em seguida, de f o (g o h) = (f o g) o h. Como não há distinção entre as escolhas de colocação de parênteses, eles podem ser deixados com segurança fora.

As funções G e F comutar uns com os outros, se g o f = f o g. Em geral, a composição de funções não será conmutativo. Comutatividade é uma propriedade especial, alcançada somente por funções específicas, e muitas vezes em circunstâncias especiais. Por exemplo, $\ Left | x \ right | + 3 = \ left | x + 3 \ right | \,$ apenas quando $x \ ge 0$ . Mas funções inverso sempre comutar para produzir o mapeamento de identidade.

Derivados de composições que envolvem funções diferenciáveis pode ser encontrado usando a regra da cadeia. Derivados "superior" de tais funções são dadas por A fórmula de Faa di de Bruno.

Exemplo

Como um exemplo, suponha que a elevação de um avião no instante t é dado pela função de h (t) e que a concentração de oxigénio na elevação x é dado pela função c (x). Em seguida, (c o h) (t) descreve a concentração de oxigênio ao redor do avião no momento t.

Poderes funcionais

Se $Y \ X subseteq$ em seguida $f: X \ rightarrow Y$ pode compor com ele mesmo; esta é por vezes designado $f ^ 2 \,$ . Assim:

$(F \ circ f) (x) = f (f (x)) = f ^ 2 (x)$

$(F \ circ f \ circ f) (x) = f (f (f (x))) = f ^ 3 (x)$

Composição repetida de uma função com a própria é chamada função de iteração.

Os funcionais poderes $f \ circ f ^ n = f ^ n \ circ f = f ^ {n + 1}$ para naturais $n \,$ siga imediatamente.

Por convenção, $f ^ 0 = id_ {D (f)} \,$ $\ Grande ($ o mapa de identidade no domínio de $f \ grande)$ .
Se $f: X \ rightarrow X$ admite uma função inversa , poderes funcionais negativos $f ^ {- k} \,$ $(K> 0 \,)$ são definidos como o poder oposto da função inversa, $(F ^ {- 1}) ^ k \,$ .

Nota: Se f leva seus valores em uma anel (em especial para o verdadeiro valor de F ou complexo), existe um risco de confusão, como f ⁿ também poderia estar para o produto de n vezes de F, por exemplo, f ² (x) = f (x) · f (x ).

(Para funções trigonométricas, geralmente esta última se destina, pelo menos para expoentes positivos. Por exemplo, em trigonometria, esta notação sobrescrito representa padrão exponenciação quando usado com funções trigonométricas : sin ² (x) = sin (x) · sin (x). No entanto, para expoentes negativos (especialmente -1), que, no entanto, geralmente refere-se à função inversa, por exemplo, tan ^-1 = arctan (≠ 1 / tan).

Em alguns casos, para uma expressão em f g (x) = f ^r (x) pode ser derivado a partir da regra dada por g valores não inteiros de r. Isto é chamado iteração fraccionada. Um exemplo simples seria a de que, onde f é a função sucessor, f ^r (x) = x + r.

Funções iteradas ocorrem naturalmente no estudo dos fractais e sistemas dinâmicos.

Monoids Composição

Suponha que um tem duas (ou mais) funciona f: X → X, g: X → X que tem o mesmo domínio e intervalo. Em seguida, pode-se formar longas cadeias, potencialmente complicados destas funções compostas em conjunto, tais como o f f o g o f. Essas longas cadeias têm a estrutura algébrica de um monoid, às vezes chamado de monoid composição. Em geral, monoides composição pode ter uma estrutura extremamente complicada. Um exemplo notável é o especial curva de Rham. O conjunto de todas as funções f: X → X é chamado de semigroup transformação completa no X.

Se as funções são bijective, em seguida, o conjunto de todas as combinações possíveis destas funções formar um grupo ; e diz-se que o grupo está gerado por essas funções.

O conjunto de todos bijective funções f: X → X formam um grupo, em relação ao operador composição. Isto é o grupo simétrico, também chamado às vezes o grupo de composição.

Notação alternativa

Em meados do século 20 , alguns matemáticos decidiram que escrever "g o f" para significar "primeiro aplicar f, em seguida, aplicar g" foi muito confusa e decidiu mudar notações. Eles escreveu "xf" para "f (x)" e "XFG" para "G (f (x))". Isso pode ser mais natural e parecer mais simples do que escrever funções do lado esquerdo em algumas áreas.

Categoria Teoria usa f; g alternadamente com g o f.

Operador de composição

Dada uma função g, o operador composição $C_g$ é definida como aquela operador que mapeia para funções como funções

$C_g f = f \ circ g.$

Operadores de composição são estudadas no campo de teoria dos operadores.

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